Proučavamo elemente trodimenzionalnog vektorskog prostora nad poljem realnih brojeva

• norma vektora je duljina vektora: 
• smjer vektora je pravac na kojem leži vektor
• orijentacija vektora je izbor jednog od dva međusobno suprotna vektora

• koordinatizacija:
• skalarni produkt je umnožak dva vektora kojemu je rezultat skalar:

Formula pomoću koordinata:

• vektorski produkt je umnožak dva vektora kojemu je rezultat vektor:

1. norma vektora  je
2. smjer vektora  je takav da je ortogonalan na  i na 
3. orijentacija vektora  je takva da  ,  , čine desnu bazu (pravilo desne ruke!)

Formula pomoću koordinata:

• mješoviti produkt tri vektora definiramo kao

Formula pomoću koordinata:

Primjena vektora i vektorskog računa:

1. Zbrajanje i oduzimanje vektora (pravilo trokuta ili pravilo paralelograma)- ravnoteža sila u mehanici, analiza sudara, …
2. Računanje kuta pomoću vektora, formula za rad sile u mehanici
3. Računanje površine paralelograma razapetog vektorima, formula za moment sile u mehanici
4. Računanje volumena paralelepipeda razapetog trima vektorima, ispitivanje komplanarnosti triju vektora

Primjeri vektorskog računa:

1. ,
   ____________________________

2. ,
   ____________________________

3. , , 
   ___________________________________________

   Zaključak: vektori , i  su komplanarni (leže u istoj ravnini).

Bavimo se proučavanjem realnih funkcija jedne realne varijable

Domena ili područje definicije funkcije i kodomena ili područje vrijednosti funkcije su podskupovi skupa realnih brojeva.

Prirodno područje definicije zadane funkcije je skup

npr. za funkciju

Graf funkcije  je skup

npr. Graf funkcije je skup točaka u ravnini označen crvenom bojom.

Elementarne funkcije dijelimo na:

• Polinomi
  Opći oblik polinoma

npr.

Polinom prvog reda . Graf je pravac.

Polinom trećeg reda . Graf je kubna parabola.

• Racionalne funkcije
  Funkcije oblika:

  gdje su i polinomi. Nultočke nazivnika nisu u domeni racionalne funkcije i zovemo ih polovi funkcije.

npr. . Graf je istostrana hiperbola.

npr.

• Eksponencijalna i logaritamska funkcija
  Eksponencijalna funkcija jedna je od najvažnijih transcendentnih funkcija i često se pojavljuje u prirodnim zakonitostima.

npr.

Broj nazivamo baza eksponencijalne funkcije, a najpoznatija baza je transcendentni Eulerov broj .
Inverznu funkciju nazivamo logaritamska funkcija

npr.

Ako je baza , radi se o prirodnom logaritmu koji označavamo i .

• Trigonometrijske i ciklometrijske funkcije
  Trigonometrijske funkcije su jedine periodičke funkcije i to i s periodom , te i  s periodom .

Restrikcije trigonometrijskih funkcija na jedan interval monotonosti su bijekcije i imaju inverze. Njima inverzne funkcije nazivamo ciklometrijske funkcije. Zovemo ih još i arkus funkcije. To su , , i .

• Iracionalne funkcije

npr.

Primjena funkcija, domena i grafova funkcija

1. Funkcije jedne varijable imaju široku primjenu u slučajevima kada je jedna varijabla zavisna o drugoj. Kada tu funkcijsku zavisnost možemo zapisati eksplicitno onda dobijemo formulu funkcijske veze odnosno funkcije.
   npr. ili dijagrami u mehanici, funkcija gibanja – položaj tijela na jednoj osi u zavisnosti o vremenu, prikaz temperature tijekom dana, …

Primjeri zadataka

1. Odredite prirodno područje definicije funkcije
   _____________________________________________________________________
   Postavljamo uvjete za domenu funkcije:

   Rješavanjem kvadratnih nejednadžbi (najlakše je crtanjem parabola) dolazimo do rješenja, a to je interval .

2. Nacrtajte graf funkcije .
   ________________________________________
   Graf je kosinusoida s amplitudom , kružnom frekvencijom , periodom , te pomakom .
3. Odredite inverznu funkciju od .
   _____________________________________________

Nakon upoznavanja s pojmom limesa funkcije u točki definiramo derivaciju funkcije u točki i derivaciju funkcije kao novu funkciju. Trebamo znati razlikovati i objasniti ta dva pojma.

• Derivacija funkcije u točki   je vrijednost limesa (ako postoji)
• Derivacija funkcije  je nova funkcija zadana preslikavanjem (koje mora biti dobro definirano za )

Do pojma derivacije su nezavisno jedan od drugoga došli Newton i Leibniz. Newton je proučavao fizikalni problem trenutne brzine

a Leibniz geometrijski problem tangente i koeficijenta smjera tangente

Primijetimo veliku sličnost u izrazima (??) i (??). Očito je da se radi o istom fundamentalnom pojmu koji je kasnije nazvan derivacijom funkcije u točki.

Pravila za deriviranje se izvode (dokazuju) korištenjem definicije i svojstava limesa. Neka su zadane derivabilne funkcije i , te konstanta .

• Pravilo za derivaciju zbroja/razlike:
• Pravilo za derivaciju produkta funkcije konstantom:
• Pravilo za derivaciju produkta:
• Pravilo za derivaciju kvocijenta:
• Pravilo za derivaciju kompozicije:

Tablične derivacije također dokazujemo deriviranjem po definiciji (računanjem limesa). Derivacije elementarnih funkcija treba savladati i naučiti napamet jer to koristimo prilikom deriviranja složenijih funkcija. Tehniku deriviranja možemo dobro usvojiti jedino upornim vježbanjem i rješavanjem zadataka za vježbu.

Primjena derivacija i deriviranja funkcije:

1. Formula za jednadžbu tangente na graf funkcije u točki dana je s

   Tangenta je pravac koji najbolje lokalno aproksimira graf zadane funkcije u određenoj točki.

2. Određivanje intervala monotonosti, točaka ekstrema i točaka infleksije zadane funkcije.
3. Newtonov zakon gibanja iz fizike je u stvari diferencijalna jednadžba čije je rješenje funkcija koja uvrštena u jednadžbu, zajedno sa svojim derivacijama, daje jednakost lijeve i desne strane.

   (u fizici često derivaciju po vremenu umjesto označavamo

Primjer deriviranja složene funkcije

1. Neka je zadana funkcija . Odredimo derivaciju .
   ______________________________________________________________
   Koristimo formulu za derivaciju produkta i složene funkcije.
2. Odredimo derivaciju funkcije  u točki .
   ______________________________________________________________
   Prvo izračunajmo derivaciju funkcije

   Da bismo odredili derivaciju funkcije u točki, još samo trebamo u dobiveni izraz uvrstiti i dobijemo

Diferencijalni i integralni račun zajedno zovemo infinitezimalnim računom (engl. Calculus) odnosno računom beskonačno malih veličina.

Primitivna funkcija funkcije je takva funkcija za koju vrijedi

Lako se vidi da se dvije primitivne funkcije iste funkcije uvijek razlikuju za konstantu i zbog toga kažemo i pišemo da je antiderivacija ili neodređeni integral funkcije

Svojstva integrala i integriranja:

1. Pravilo za integral produkta funkcije konstantom:
2. Formula za metodu supstitucije:
3. Formula parcijalne integracije:

Tablični integrali

Primjena neodređenog integrala

1. Kao što samo ime kaže antiderivacija je postupak suprotan deriviranju. Nalaženje primitivne funkcije je određivanje funkcije koja derivirana daje zadanu funkciju. Ako nam je poznata tablica derivacija onda za jednostavnije funkcije znamo i tablicu integrala, odnosno možemo direktno integrirati.
2. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi uvijek se u jednom trenutku svodi na integriranje funkcije.

Primjeri zadataka s neodređenim integralom

1. Izračunajmo .
   _______________________
   Konstantu ćemo izbaciti ispred znaka integrala i iskoristiti zamjenu varijabli da dobijemo tablični integral.
2. Parcijalnom integracijom riješimo integral .
   _______________________________________________

Određeni integral računamo pomoću Newton-Leibnizove formule

gdje je primitivna funkcija od . Ta fundamentalna formula infinitezimalnog računa daje vezu između određenog integrala i primitivne funkcije odnosno antiderivacije funkcije.

Formule za određeni integral:

1. Formula za metodu supstitucije:
2. Formula parcijalne integracije:

Primjena određenog integrala i primjeri zadataka

1. Definicija određenog (Riemannovog) integrala motivirana je računanjem površine ispod grafa funkcije.
   Iznos površine između grafa funkcije i -osi upravo je jednaka integralu ako je graf iznad -osi, a suprotna po predznaku ako je graf ispod -osi.

2. Ako je zadana funkcija linijske gustoće štapa smještenog na koordinatnu os na intervalu i ona iznosi , izračunajmo ukupnu masu štapa.
   ________________________________________________________

   Kada je gustoća konstantna onda masu računamo po formuli , gdje je duljina štapa. Ovdje gustoća ovisi o koordinati točke na štapu, pa masu moramo računati po formuli

Skup matrica sadrži sve one matrice koje su tipa što znači da ima redaka i stupaca.

Element matrice označen s nalazi se na presjeku -tog retka i -tog stupca.

• Zbrajanje matrica ( moraju biti istog tipa, )
  
  
• Množenje matrice skalarom ( , )
  
  
• Množenje matrica ( moraju biti ulančane , )
  Rezultat je matrica gdje je

  Primjer.

• Inverzna matrica
  Inverzna matrica kvadratne matrice je matrica (ako takva postoji!) koja pomnožena s daje jediničnu matricu

  Matrice koje imaju inverz nazivamo regularne matrice. Jednostavan kriterij za provjeru regularnosti je

matrica je regularna

Primjena matrica

1. Uz fizikalne veličine koje su skalari i vektori, pokazuje se potreba i za pojmom matrice kod veličina koje su tenzori.
2. Linearni operatori zapisani u matričnom obliku imaju oblik pogodan za obavljanje računskih operacija. Djelovanje operatora na određeni vektor svodi se na algebarsku operaciju množenja matrica.
3. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi možemo promatrati kao rješavanje matrične jednadžbe

Sustavi linearnih jednadžbi s više nepoznanica

Često se u primjeni ukaže potreba za rješavanje sljedećeg sustava jednadžbi

Ako uvedemo oznake

sustav se svodi na matričnu jednadžbu

Rješenje nalazimo u obliku

a sličnu jednadžbu rješavamo i prilikom određivanja inverza matrice

• Gauss-Jordanov postupak ili algoritam je jedan od načina kako riješiti takav problem - proširenu matricu sustava Gaussovim transformacijama (eliminacijama) svodimo na reducirani oblik s jedinicama na dijagonali:

      ili       

Dozvoljeno je:

1. zamjena redaka u matrici
2. množenje retka brojem različitim od nule
3. množenje retka brojem različitim od nule i dodavanje drugom retku

Red brojeva  čini niz zajedno sa nizom parcijalnih suma reda

nazivamo opći član reda i on je obično zadan formulom. Suma reda je limes niza parcijalnih suma (ako on postoji) i označavamo je s

Za red kažemo da je konvergentan ili da konvergira ako postoji njegova suma reda i to je konačan broj. U protivnom kažemo da je red divergentan ili da divergira.

Red funkcija je red kojemu je opći član funkcija

Područje konvergencije je skup vrijednosti varijable za koju je red brojeva(!) konvergentan red. Za ispitivanje konvergencije redova najčešće koristimo tri kriterija:

1. D’Alembertov kriterij
2. Cauchyjev kriterij
3. Leibnizov kriterij

Sada proučavamo funkcije , gdje je , a . Takva funkcija ima dvije nezavisne varijable, a treću zavisnu varijablu označavamo

Prirodno područje definicije funkcije dviju varijabli je

i budući da je to skup u ravnini moguće ga je skicirati sjenčanjem. Prilikom skiciranja ako je rub područja uključen u domenu crtamo ga punom linijom, a ako nije onda isprekidanom linijom.

Graf funkcije  je ploha u 3D koordinatnom sustavu.

Primjeri zadataka

1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu sljedeće funkcije 
   _______________________________________________________
   Sređivanjem uvjeta za domenu zadane funkcije dobivamo

   Prirodna domena dobije se kao presjek područja određenih danim nejednadžbama.

2. Skicirajmo graf funkcije .
   _______________________________

Parcijalne derivacije funkcije  u točki po varijabli , odnosno  su izrazi

Često se koriste još i oznake   i    .

Svojstva i formule za deriviranje funkcije jedne varijable vrijede i ovdje, s time da prilikom parcijalnog deriviranja po jednoj varijabli onu drugu promatramo kao konstantu.

Primjer.

Neka je zadana funkcija . Odredimo prvo parcijalnu derivaciju po varijabli

Parcijalna derivacija po varijabli je

• Gradijent funkcije dviju varijabli je vektor u 2D.

Za funkciju , i točku gradijent označavamo s :

• Prvi diferencijal funkcije u točki definiramo formulom

• Drugi diferencijal funkcije u točki definira se izrazom

i također ovisi o izboru točke .

• Tangencijalna ravnina na plohu zadanu implicitno izrazom u točki ima jednadžbu:

Primjena parcijalnih derivacija

1. Parcijalne diferencijalne jednadžbe
2. Analiza funkcija više varijabli: tangencijalna ravnina, lokalni ekstremi, uvjetni ekstremi, sedlaste točke
3. Teorem srednje vrijednosti – približni račun

Proširenjem pojma integrala na funkcije dviju varijabli dolazimo do pojma dvostrukog integrala čije se računanje svodi na dva uzastopna jednostruka integrala. Kada integriramo po jednoj varijabli drugu promatramo kao konstantu, slično kao i kod parcijalnih derivacija. Svojstva i metode integriranja nasljeđujemo od jednostrukih integrala. Posebnu pažnju valja posvetiti određivanju granica integracije.

• Integriranje po pravokutniku
  
• Integriranje po području
  
  Analogno se određuju granice u drugom redoslijedu integracije.
• Polarne koordinate
  Zamjenom varijabli

  dvostruki integral možemo računati u polarnim koordinatama

Ova zamjena varijabli je posebno primjenjiva ako je područje integracije krug ili dio kruga kao na primjer na sljedećoj slici:

Primjena dvostrukih integrala

1. Računanje volumena tijela između -ravnine i plohe koja je graf zadane funkcije.
2. Računanje ukupne vrijednosti funkcije na 2D području čija je gustoća ovisna o dvije varijable.

DIferencijalna jednadžba je jednadžba koja sadrži nepoznatu funkciju i njene derivacije ( u našem slučaju funkciju jedne varijable i “obične” derivacije, za razliku od parcijalnih diferencijalnih jednadžbi ).

Rješenje diferencijalne jednadžbe je funkcija koja jednadžbu prevodi u identitet, tj. njenim uvrštavanjem dobijemo jednakost lijeve i desne strane jednadžbe.

Red diferencijalne jednadžbe je stupanj najviše derivacije koja se pojavljuje u jednadžbi.

Rješavanjem diferencijalne jednadžbe dobivamo takozvano opće rješenje, koje sadrži onoliko neodređenih konstanti koliki je red jednadžbe. Ako su uz jednadžbu dani i početni uvjeti ( onoliko koliki je red jednadžbe ) tada govorimo o Cauchyjevom problemu. Njegovo rješenje nema neodređenih konstanti i nazivamo ga partikularno rješenje.

Primjer.

Odredimo rješenje jednostavne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Tražimo funkciju koja derivirana daje . Opće rješenje je

Kada bi bio zadan početni uvjet, npr. , onda bismo odredili i konstantu :

Partikularno rješenje dakle glasi

• Egzaktne diferencijalne jednadžbe

Diferencijalna jednadžba oblika

za koju vrijedi

naziva se egzaktnom diferencijalnom jednadžbom.

Rješavanje se svodi na određivanje funkcije  za koju vrijedi

Konačno rješenje zapisuje se u obliku , ,što predstavlja implicitni izraz za funkciju .

• Diferencijalne jednadžbe sa separiranim varijablama

Ako jednadžbu možemo zapisati kao

radi se o slučaju kada su varijable separirane (razdvojene). Rješenje obično zapisujemo u obliku

gdje je jedino preostalo izračunati integrale.

• Homogene diferencijalne jednadžbe

Diferencijalna jednadžba oblika

u kojoj su i homogene funkcije istog stupnja homogenosti zove se homogena diferencijalna jednadžba. Ovaj tip diferencijalne jednadžbe prevodimo u diferencijalnu jednadžbu sa separiranim varijablama supstitucijom

• Linearne dif. jednadžbe prvog reda

To su jednadžbe oblika

gdje su i unaprijed zadane funkcije jedne varijable . Ako je , jednadžbu nazivamo homogenom, u suprotnom je ona nehomogena. Rješavamo ih metodom varijacije konstante u kojoj pretpostavljamo da je neodređena konstanta u stvari funkcija u varijabli , tj. .

• Linearna dif. jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima

Proučavamo poseban oblik jednadžbe

koji rješavamo metodom neodređenih koeficijenata u dva koraka. Prvi je rješavanje pripadne homogene jednadžbe

a drugi je pogađanje partikularnog rješenja ovisno o obliku funkcije smetnje .

Kombinatorika izučava svojstva konačnih skupova. Posebna pažnja posvećuje se prebrojavanju elemenata skupova i proučavanju njihove strukture. Kao predznanje potrebno je poznavati osnove algebre skupova.

Osnovni principi prebrojavanja:

1. Formula uključivanja – isključivanja
2. Teorem o uzastopnom prebrojavanju

Sve ostale kombinatorne formule izvodimo iz ova dva osnovna principa, a to su:

1. Permutacije bez ponavljanja
2. Permutacije s ponavljanjem
3. Varijacije bez ponavljanja
4. Varijacije s ponavljanjem
5. Kombinacije bez ponavljanja
6. Kombinacije s ponavljanjem

Permutacije i varijacije su uređene -torke, a kombinacije su -člani podskupovi. To je bitna razlika jer je kod prvih uređaj bitan, a kod drugih nije.

Teorija vjerojatnosti proučava slučajne pokuse sa stohastičnim (slučajnim) ishodima.

Skup svih mogućih ishoda označavamo s i nazivamo skupom elementarnih događaja. On može biti diskretan (konačan ili prebrojiv) ili neprekinut (neprebrojiv).

Kroz povijest se definicija vjerojatnosti postupno usavršavala, pa tako preko definicije vjerojatnosti a posteriori i vjerojatnosti a priori dolazimo do suvremene formalne (aksiomatske) definicije vjerojatnosti i vjerojatnosnog prostora (1933. A.M.Kolmogorov). Po toj definiciji vjerojatnost je preslikavanje sa posebnog skupa koji nazivamo algebra događaja i s točno određenim svojstvima koja moraju biti zadovoljena.

Neka je konačna algebra događaja. Vjerojatnost je preslikavanje sa sljedećim svojstvima:

Uređenu trojku nazivamo vjerojatnosnim prostorom (prostorom vjerojatnosti).

Trebamo razlikovati pojmove: nemoguć događaj , siguran događaj , suprotan događaj , nezavisni događaji itd.

• Konačan vjerojatnosni prostor

U konačnom vjerojatnosnom prostoru je . Ako su zadani brojevi  sa svojstvima:

kažemo da je zadana vjerojatnost na .
Za događaj vrijedi

Posebno, ako je svaki elementarni događaj jednako vjerojatan onda dolazimo do možda najviše korištene formule:

• Geometrijska vjerojatnost

Ako je neprebrojiv skup konačne geometrijske mjere , definiramo geometrijsku vjerojatnost događaja

Tako definirana funkcija jest vjerojatnost jer zadovoljava sve potrebne uvjete.

• Uvjetna vjerojatnost

Neka je događaj s pozitivnom vjerojatnošću . Definiramo uvjetnu vjerojatnost da će nastupiti događaj , ako je nastupio događaj

Za potpun sustav događaja vrijedi formula potpune vjerojatnosti:

Često koristimo i Bayesovu formulu

Slučajna varijabla  je funkcija , takva da je original (praslika) svakog intervala iz događaj u .

Skup

nazivamo skupom vrijednosti slučajne varijable .

Ako je konačan ili prebrojiv skup nazivamo diskretnom slučajnom varijablom, a ako je
neprebrojiv skup, onda je neprekinuta (kontinuirana) slučajna varijabla.

Često koristimo oznake i za vjerojatnosti događaja ” poprima vrijednost ” i ” poprima vrijednost intervala “.

Funkcija razdiobe slučajne varijable je funkcija  definirana s

Diskretna razdioba vjerojatnosti slučajne varijable može se zapisati i ovako

• Numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable

1. Očekivanje
2. Varijanca
3. Standardna devijacija

• Binomna razdioba
• Poissonova razdioba
• Geometrijska razdioba
• Eksponencijalna razdioba
• Normalna razdioba

Statistika se bavi prikupljanjem, grupiranjem i analizom informacija i podataka, te interpretiranjem rezultata provedene analize. Statističke metode temelje se na teoriji vjerojatnosti. Dijelimo je na deskriptivnu i inferencijalnu statistiku.

Trebamo poznavati pojmove: numerički niz, apsolutna i relativna frekvencija, poligon frekvencija, histogram itd.

• Brojčane karakteristike numeričkih nizova

1. Aritmetička sredina
2. Geometrijska sredina
3. Harmonijska sredina
4. Mod
5. Medijan
6. Varijanca
7. Standardna devijacija …

• Teorija uzoraka

Umjesto da se određeno svojstvo proučava na čitavom skupu (populaciji), što je često i nemoguće, promatramo samo mali (reprezentativni) uzorak i onda na temelju njega zaključujemo o čitavom osnovnom skupu.

Na temelju empirijskih podataka pretpostavljamo i postavljamo hipotezu o nekoj teorijskoj razdiobi. Provođenjem statističkog testa utvrđujemo da li se empirijski podaci podudaraju s teorijskim podacima s unaprijed zadanom točnošću. Hipoteza se na taj način ODBACUJE ili NE ODBACUJE.

Najpoznatiji je Pearsonov test ili -test. Računa se vrijednost (razlika empirijske frekvencije i teorijske frekvencije )

i uspoređuje s kritičnom vrijednošću iz tablice. Ako je ta greška prevelika hipoteza se odbacuje.

Teorija korelacije istražuje međusobnu statističku povezanost dvaju ili više obilježja.

Koeficijent korelacije u uzorku računa se po formuli

Pravac regresije za uzorak je  pričemu se koeficijenti i računaju po formulama: